问答题 设（R，+，.）是一个有单元1的环，对于任意的a，b∈R，令a⊕b=a+b-1，a☉b=a+b-a*b。证明：⊕和☉是R上的两个代数运算且关于加法⊕和乘法☉也构成一个有单位元的环。

问答题 考虑实数域R上的向量空间R2（对应于2维欧氏平面）。 （1）在R2上定义关系“~”对向量α，β∈R2称α~β如果存在r∈R使得rα=β。“~”是R2的等价关系吗？为什么？ （2）R2上的关系“~”同上，对α∈R2记|α|={β∈R2|β~α}。幂集p（R2）的子集{[α]|α∈R2}是集合R2的划分吗？为什么？ （3）令A=R2-{0}所有非零向量的集合，如同（1）定义“~”对任α，β∈A称α~β如果存在非零r∈R使得rα=β证明：“~”是A的等价关系，并求商集A/~（即求出等价关系~给出的划分）。

问答题 设R是一个环，假设（R，+）是一个循环群，证明：R是交换环。